In questa lezione ti spiegherò cosa si intende per insieme Universo ed insieme Ambiente.
In realtà, questi due termini (Ambiente ed Universo) sono spesso utilizzati per indicare la stessa cosa, ma la definizione originaria di insieme Universo è diversa. Per tale motivo daremo entrambe le definizioni, e spiegheremo la differenza tra le due.
INDICE
Insieme Universo
L’insieme Universo, detto anche insieme universale, è quell’insieme che contiene tutti gli altri insiemi esistenti. Esso si indica con la seguente lettera:
U = insieme Universo .
Dalla definizione si capisce che esso è unico, cioè non possono esserci due insiemi Universo. Però, tale definizione porta a delle contraddizioni quando ci si pone la domanda se l’insieme U appartiene a se stesso:
- Se U è un elemento di U, poiché per definizione U contiene tutti gli altri insiemi, allora U dovrebbe essere diverso da U.
- Se U non è un elemento di U, essendo comunque un insieme, poiché per definizione U contiene tutti gli altri insiemi, allora U dovrebbe appartenere ad U.
Queste due contraddizioni ci fanno capire che, per la definizione stessa di insieme, non è possibile definire un insieme che contiene tutti gli altri insiemi.
Per superare queste contraddizioni è possibile definire l’insieme Universo in un altro modo, e cioè non considerando tutti i possibili insiemi, ma solo un numero limitato di essi, relativi al contesto (o Ambiente) che si sta considerando.
Insieme Ambiente (o insieme Universo)
L’insieme Ambiente (o insieme Universo) di un insieme A è semplicemente un insieme che contiene A, e si indica con la lettera:
U = insieme Universo (o insieme Ambiente).
Utilizzando i diagrammi di Venn può essere rappresentato nel seguente modo:
L’insieme ambiente serve a dare un’informazione più precisa su quelli che devono essere gli elementi contenuti in un determinato insieme. Facciamo qualche esempio per capire meglio.
ESEMPIO 1: Considero l’insieme degli studenti che vanno a scuola con l’autobus.
Se non do altre informazioni, mi viene da pensare che devo considerare tutti gli studenti che vanno a scuola con l’autobus, in tutto il mondo, e di qualsiasi età. Se invece definisco l’insieme Ambiente, come l’insieme degli studenti del Liceo Classico “Pietro Giannone” di Benevento, allora gli elementi del mio insieme si riducono. Se cambio insieme ambiente cambieranno anche gli elementi in esso contenuti.
Quindi, nell’insieme A ci saranno solo gli studenti del liceo classico “Pietro Giannone” che vanno a scuola con l’autobus.
ESEMPIO 2: Considero l’insieme dei numeri tra 5 e 10.
Se non do altre informazioni potrei considerare tutti i numeri reali contenuti in questo intervallo, che sono infiniti, oppure solo i numeri naturali contenuti in questo intervallo, che invece sono finiti. Quali devo considerare?
Per rispondere a questo domanda devo definire l’insieme Ambiente, che può essere l’insieme dei numeri reali, in tal caso scriveremo:
oppure può essere l’insieme dei numeri naturali, in tal caso scriveremo:
