In questa lezione ti spiegherò due delle principali operazioni tra insiemi, unione e intersezione. Oltre alla definizione troverai elencate anche le proprietà di entrambe le operazioni.
INDICE
Unione tra insiemi
L’unione tra due o più insiemi è un insieme che contiene tutti gli elementi degli insiemi considerati. Se gli insiemi contengono elementi comuni, questi vengono presi una sola volta.
Il simbolo dell’operazione di unione è
ESEMPIO: Considero l’unione tra l’insieme A = {1,2,3,4,5,6} e l’insieme B = {4,5,6,7,8,9,10}.
L’unione tra questi due insiemi sarà l’insieme C = A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Proprietà dell’Unione
Descriviamo le principali proprietà dell’unione, tenendo presente che per comprenderle tutte è necessario conoscere anche l’operazione di intersezione.
Proprietà commutativa
A ∪ B = B ∪ A
Proprietà associativa
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Proprietà distributiva rispetto all’intersezione
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Proprietà di idempotenza (o proprietà iterativa)
A ∪ A = A
Proprietà dell’insieme vuoto
A ∪ Ø = A
dove Ø è l’insieme vuoto
Proprietà di assorbimento
A ∪ (A ∩ B) = A
Altre proprietà dell’Unione riguardano le Leggi di De Morgan, di cui parleremo nelle lezioni successive.
Intersezione tra insiemi
L’intersezione tra due o più insiemi è un insieme che contiene tutti gli elementi comuni agli insiemi considerati. Se gli insiemi non contengono elementi comuni, allora l’intersezione sarà l’insieme vuoto.
Il simbolo dell’operazione di intersezione è
ESEMPIO: Considero l’intersezione tra l’insieme A = {1,2,3,4,5,6}e l’insieme B = {4,5,6,7,8,9,10}.
L’intersezione tra questi due insiemi sarà l’insieme C = A ∩ B = {4,5,6}.
Proprietà dell’Intersezione
Descriviamo le principali proprietà dell’intersezione, tenendo presente che per comprenderle tutte è necessario conoscere anche l’operazione di unione.
Proprietà commutativa
A ∩ B = B ∩ A
Proprietà associativa
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Proprietà distributiva rispetto all’unione
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Proprietà di idempotenza (o proprietà iterativa)
A ∩ A = A
Proprietà dell’insieme vuoto
A ∪ Ø = Ø
dove Ø è l’insieme vuoto
Proprietà di assorbimento
A ∩ (A ∪ B) = A