In questa lezione ti spiegherò uno degli argomenti più affascinanti della matematica: i numeri primi.
Il fascino risiede negli enigmi irrisolti che porta con sé. Cercherò di illustrarti tutto ciò che c’è da sapere su questo argomento, lasciando alla fine qualche curiosità e approfondimento.
INDICE
- Quali sono i numeri primi
- Perché 1 non è un numero primo?
- Quanti sono i numeri primi
- Come determinare se un numero è primo
- L’enigma dei numeri primi
- Numeri primi fino a 1000
Quali sono i numeri primi
I numeri primi sono numeri naturali divisibili soltanto per 1 e per se stessi. L’unico numero naturale che soddisfa questa proprietà ma non è considerato un numero primo è il numero 1
Dalla definizione appena data si può ricavare una regola molto semplice per poter capire se un numero è primo oppure no. La regola è la seguente e si divide in tre passi :
- “prendi un numero intero”
- “prova a dividerlo per numeri interi più piccoli, escluso 1”
- “se almeno una di queste divisioni dà resto 0, allora il numero considerato NON è primo”
Facciamo subito qualche esempio per capirci.
Il numero 7 è primo perché se provo a dividerlo per numeri naturali più piccoli di 7 e maggiori di 1, ottengo sempre un resto diverso da zero:
- 7 : 2 = 3 con resto 1
- 7 : 3 = 2 con resto 1
- 7 : 4 = 1 con resto 3
- e così via ….
Il numero 6 non è primo perché è divisibile per 2 e per 3:
- 6 : 2 = 3 con resto 0
- 6 : 3 = 2 con resto 0
Se un numero non è primo viene detto anche numero composto, perché si può ottenere moltiplicando due o più numeri primi. Mentre, un numero primo si può scrivere soltanto come il prodotto di se stesso per uno.
Perché 1 non è un numero primo?
Il numero 1 non è un numero primo “per convenzione,“ cioè perché così è stato deciso. Questa è la risposta più breve e concisa che puoi dare se qualcuno dovesse chiederti perché 1 non è primo.
“Per convenzione” significa che si tratta di una scelta fatta dai matematici nel momento in cui si doveva decidere se includere 1 nei numeri primi (dato che è divisibile per 1 e per se stesso), oppure no.
Il motivo per cui 1 non è stato incluso è molto semplice: per comodità. Inserire 1 tra i numeri primi avrebbe costretto i matematici a riformulare una serie di definizioni e teoremi che avrebbero perso la loro validità.
Possiamo fare un esempio considerando il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica:
“… se un numero non è primo, può essere scomposto come il prodotto di numeri primi e tale scomposizione è UNICA, a prescindere dall’ordine in cui compaiono i fattori.”
Consideriamo il numero 21, esso può essere ottenuto SOLO moltiplicando i due numeri primi 3 e 7, indipendentemente dall’ordine (cioè prima 7, oppure prima 3):
- 21 = 3 x 7
- 21 = 7 x 3
Nel caso in cui considerassi 1 come numero primo questa affermazione non sarebbe più vera, perché 21 potrebbe essere ottenuto in altri modi:
- 21 = 3 x 7
- 21 = 3 x 7 x 1
- 21= 3 x 7 x 1 x 1
Di conseguenza il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica non sarebbe più valido, perché la scomposizione in fattori primi di un numero non sarebbe più UNICA.
A questo punto le scelte possibili erano due: cambiare il teorema o escludere 1 dai numeri primi? E’ stata fatta la seconda scelta per comodità, perché includere 1 tra i numeri primi significava cambiare non solo questo teorema ma anche altri.
Bisogna tener presente che 1, ma anche lo 0, sono numeri particolari che spesso vanno trattati a parte perché introducono eccezioni, non solo in questo caso.
Quanti sono i numeri primi
I numeri primi sono infiniti, e questa è una delle poche cose certe che sappiamo. Questa affermazione è stata dimostrata inizialmente da Euclide, e successivamente (circa 2000 anni dopo) è stata trovata una seconda dimostrazione da Eulero.
Purtroppo ci sono ancora tante cose che non si conoscono.
Ad esempio, se sappiamo che un numero è primo, non esiste una formula che ci permetta di calcolare quello successivo. Non esiste neanche una formula che ci permetta di dire, in maniera diretta, se un numero è primo oppure no.
Allora come si fa a determinare se un numero è primo?
Come determinare se un numero è primo
Per determinare se un numero è primo bisogna dimostrare che non è divisibile per nessun numero naturale più piccolo, escluso 1.
Si capisce subito che quanto più grande è il numero che vogliamo analizzare tanto più lunga sarà la procedura per dimostrare che è primo, perché bisognerebbe provare a dividerlo per tutti i numeri naturali più piccoli. In realtà basta provare a dividerlo solo per i numeri primi più piccoli.
Una procedura efficiente che evita le divisioni è il crivello di Eratostene, ideata intorno al 200 a.c., e ad oggi ancora utilizzata. Tale procedura permette di individuare tutti i primi più piccoli di un certo numero, selezionando ed eliminando in sequenza i numeri composti.
L’enigma dei numeri primi
I numeri primi sono gli elementi base dell’aritmetica. Essi hanno il potere di costruire tutti gli altri numeri.
Nonostante la loro apparente semplicità restano gli oggetti più misteriosi studiati dai matematici. Il mistero risiede nella loro apparente casualità, cioè sembra che non abbiano un andamento regolare. Poiché sono alla base di una disciplina (la matematica) basata su “regolarità” ed “ordine“, i matematici cercano disperatamente una forma regolare in cui inserirli.
Questo problema affligge i matematici da molti secoli. In duemila anni molti ci hanno provato, ma con scarsi risultati. Tuttavia, nella metà del XIX secolo c’è stata una svolta decisiva. Bernhard Riemann cominciò a guardare il problema da una prospettiva diversa e formulò quella che ad oggi è nota come ipotesi di Riemann.
Tale ipotesi non è ancora stata dimostrata, ma chiunque riuscirà a farlo resterà sicuramente nella storia, dato che molti problemi matematici si basano sulla veridicità di tale ipotesi.
Inoltre, con lo sviluppo della tecnologia e dell’informatica, alcuni metodi di crittografia che proteggono i nostri dati sensibili, compresi i numeri delle carte di credito, si basano proprio sulla difficoltà nell’individuare numeri primi molto grandi.
Se l’ipotesi di Riemann venisse dimostrata i nostri dati non sarebbero più al sicuro, e neanche il nostro conto in banca.
Numeri primi fino a 1000
Riportiamo di seguito tutti i numeri primi da 1 a 1000, suddivisi per centinaia:
Approfondimenti
Ti riporto di seguito alcune curiosità:
- Considerando numeri sempre più grandi la percentuale di primi diminuisce: ad esempio tra 1 e 10 il 40% dei numeri sono primi; tra 1 e 100 il 25 % sono primi, tra 1 e 1000 il 16,8 %, e così via.
- Esiste solo un numero primo pari, che è 2. Tutti gli altri sono dispari e possono terminare per 1, 3, 7, oppure 9.
- Non esistono metodi veloci per stabilire se un numero è primo. Quanto più grande è il numero da analizzare tanto più tempo ci vuole per capire se è un numero primo.
- La difficoltà di scomporre in fattori primi un numero molto grande è utilizzata in crittografia per la comunicazione sicura tra computer.