In questa lezione ti spiegherò l’operazione di moltiplicazione, che è una delle 4 operazioni principali dell’aritmetica. Cercherò di darti tutte le informazioni necessarie per capire cos’è la moltiplicazione, quali sono le sue proprietà e come si calcola. Per semplicità utilizzeremo solo i numeri naturali, ma come vedremo nelle lezioni successive questa operazione può essere applicata a qualsiasi numero.
INDICE
Definizione di moltiplicazione
Prima di dare la definizione faremo un esempio pratico. Supponiamo che in una classe ci siano 3 file di banchi, ognuna composta da 7 banchi. Quanti banchi ci sono in tutto?
Per rispondere a questa domanda si dovrà eseguire la seguente addizione:
7 + 7 + 7 = 21.
Se le file fossero state 8, avremmo dovuto fare la seguente addizione:
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 56.
Addizionare più volte lo stesso addendo può essere poco agevole. Un modo più abbreviato per eseguire questa operazione consiste nell’eseguire la moltiplicazione:
7 × 8 = 56
Notazione
Il simbolo che rappresenta questa operazione è × oppure · (per):
8 × 7 oppure 8 · 7 si legge “8 per 7”.
Il formalismo utilizzato per moltiplicare due numeri è il seguente:
L’operazione di moltiplicazione si indica con il simbolo × ( oppure con · ). I due numeri che abbiamo moltiplicato (2 e 3) si chiamano fattori. Il risultato (6) si chiama prodotto.
Definizione formale
Utilizzando un formalismo più matematico, possiamo dire che la moltiplicazione tra due numeri naturali è un operazione che consiste nel sommare tante volte uno dei due numeri quante sono le unità dell’altro.
ATTENZIONE: il termine moltiplicazione indica l’operazione (×) che si sta eseguendo, mentre il termine prodotto indica il risultato di tale operazione. Capita spesso di confondere i due termini e di utilizzare il termine prodotto per indicare l’operazione (×), ma questo è sbagliato.
Proprietà della moltiplicazione
La moltiplicazione è un’operazione aritmetica che gode delle seguenti proprietà:
1) Proprietà commutativa
Il prodotto di due o più fattori non cambia, se si cambia l’ordine dei fattori. In formule possiamo scrivere:
a × b = b × a
dove a e b sono due numeri qualsiasi.
Esempio:
- 2 × 3 = 6;
- 3 × 2 = 6.
Naturalmente, come detto nella definizione, questa proprietà vale anche se i fattori sono più di due.
2) Proprietà associativa
Il prodotto di tre o più fattori non cambia, se si sostituiscono due o più di essi con il loro prodotto. In formule possiamo scrivere:
(a × b) × c = a × (b × c);
dove a, b e c stanno ad indicare tre numeri qualsiasi. L’uso delle parentesi sta ad indicare quale operazione devo svolgere prima. Quindi, se moltiplico prima a e b e poi moltiplico c, oppure se moltiplico prima b e c e poi moltiplico a, ottengo lo stesso risultato.
Esempio:
- (2 × 4) × 3 = 8 × 3 = 24;
- 2 × (4 × 3) = 2 × 12 = 24;
3) Proprietà dissociativa
Il risultato della moltiplicazione non cambia se sostituisco un fattore con altri fattori, il cui prodotto è uguale al fattore sostituito. In formule possiamo scrivere:
a × b = a × (c × d) se c × d = b
dove a, b, c e d stanno ad indicare quattro numeri qualsiasi.
Esempio:
- 7 × 4 = 28;
- 7 × (2 × 2) = 28;
Nell’esempio è evidente che se a 4 sostituisco 2 × 2, il risultato non cambia perché 2 × 2 = 4.
4) Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla sottrazione:
Tale proprietà ci dice che l’addizione di due o più numeri, moltiplicata per un numero, si può svolgere moltiplicando ciascun addendo per quel numero e poi addizionare i prodotti ottenuti. Lo stesso vale se al posto dell’addizione abbiamo una sottrazione. In formule possiamo scrivere:
(a + b) × c = a × c + b × c
dove a, b e c stanno ad indicare tre numeri qualsiasi.
Esempio:
- (5 + 4) × 3 = (5 × 3) + (4 × 3) = 15 + 12 = 27;
- (5 + 4) × 3 = 9 × 3 = 27;
5) Principio di annullamento del prodotto:
Se uno dei fattori di una moltiplicazione è zero, il prodotto è zero.
Esempio:
- 0 × 3 = 0;
- 3 × 0 = 0;
- 0 × 0 = 0;
6) Il numero 1 è elemento neutro per la moltiplicazione:
Il prodotto di due fattori, uno dei quali è l’unità, è sempre uguale all’altro fattore.
Esempio:
Come si calcola la moltiplicazione
Lo strumento che ti permette di calcolare la moltiplicazione più velocemente è sicuramente la calcolatrice :-). Se non disponi di una calcolatrice ed hai soltanto carta e penna? In questo caso devi imparare a calcolare la moltiplicazione in colonna.
Procedura per eseguire la moltiplicazione in colonna.
- Scrivi i fattori uno sotto l’altro, allineandoli a destra, cioè dalla cifra delle unità.
- Moltiplica ogni cifra del secondo fattore con tutte le cifre del primo fattore andando da destra verso sinistra. Per ogni cifra del secondo fattore si ottiene un prodotto parziale.
- Scrivi i prodotti parziali l’uno sotto l’altro, aggiungendo ogni volta uno zero in più da destra verso sinistra, a partire dal secondo prodotto parziale. Per il secondo prodotto parziale si aggiunge uno zero, per il terzo prodotto parziale si aggiungono due zeri, per il quarto prodotto parziale si aggiungono tre zeri, e così via.
- Il risultato finale è dato dalla somma di tutti i prodotti parziali.
Se la procedura non ti è chiara, ed hai bisogno di una descrizione più dettagliata, leggi il seguente articolo: come eseguire la moltiplicazione in colonna.