In questa lezione ti spiegherò l’operazione di divisione, che è una delle 4 operazioni principali dell’aritmetica.
Cercherò di darti tutte le informazioni necessarie per capire cos’è la divisione, quali sono le sue proprietà e come si calcola. Per semplicità utilizzeremo solo i numeri naturali, ma come vedremo nelle lezioni successive questa operazione può essere applicata a qualsiasi numero.
INDICE
Definizione
Prima di dare la definizione di divisione faremo un esempio pratico, per capire meglio in cosa consiste questa operazione.
Supponiamo di voler distribuire 20 mele a 5 persone, facendo in modo che ognuno di essi ne abbia in egual numero. Quante mele spetteranno ad ogni persona?
Per rispondere a questa domanda basta semplicemente raggruppare le mele in 5 gruppi. Poiché le mele sono 20, in ogni gruppo ci saranno 4 mele. Quindi, possiamo dire che 20 diviso 5 è uguale 4. Cioè, se prendo 20 mele e le divido per darle a 5 persone, ognuna di loro ne avrà 4.
Definizione intuitiva
Intuitivamente l’operazione di divisione consiste nel distribuire il totale degli elementi in gruppi che abbiano lo stesso numero di elementi.
Notazione
Il simbolo che rappresenta questa operazione è : (diviso):
20 : 5 si legge “venti diviso cinque“.
Il formalismo utilizzato è il seguente:
L’operazione di divisione si indica con il simbolo : . Il primo numero (20) si chiama dividendo, il secondo numero (5) si chiama divisore, mentre il risultato (4) si chiama quoziente
CURIOSITÀ: il termine quoziente deriva dal termine latino “quotiens”, che significa quante volte. In effetti il quoziente ci dice quante volte il divisore è contenuto nel dividendo.
Definizione formale
Utilizzando un formalismo più matematico possiamo dare la seguente definizione: dati due numeri naturali, di cui il secondo diverso da zero, l’operazione di divisione restituisce un terzo numero che, moltiplicato per il secondo, ci dà il primo.
La definizione appena data è valida quando il primo numero (cioè il dividendo) è un multiplo del secondo numero (il divisore).
Quando il dividendo non è un multiplo del divisore cosa succede?
Il risultato può essere scritto come la somma di due numeri naturali, quoziente e resto. Pertanto, quando si esegue la divisione tra due numeri naturali si possono presentare due casi:
- il dividendo è multiplo del divisore (divisione senza resto)
- il dividendo non è multiplo del divisore (divisione con resto).
1. Divisione senza resto
La divisione senza resto, detta anche divisione propria, si ha quando il dividendo è un multiplo del divisore. In tal caso il risultato può essere chiamato anche quoto:
dividendo : divisore = quoto ⇒ quoto x divisore = dividendo;
Esempio.
20 : 5 = 4 ⇒ 4 × 5 = 20.
2. Divisione con resto
La divisione con resto, detta anche divisione impropria, si ha quando il dividendo NON è un multiplo del divisore. In tal caso il risultato, detto quoziente, è il maggior numero intero che, moltiplicato per il divisore, dà un numero che non supera il dividendo. Per ottenere il dividendo bisogna addizionare una quantità detta resto.
dividendo : divisore = quoziente con resto ⇒ quoziente x divisore + resto = dividendo;
Esempio.
22 : 5 = 4 con resto 2 ⇒ 4 × 5 + 2 = 22.
Proprietà della divisione
La divisione di due numeri naturali gode delle seguenti proprietà:
1) Proprietà invariantiva
Il risultato della divisione non cambia se moltiplichiamo o dividiamo per uno stesso numero, diverso da zero, sia il dividendo che il divisore:
a : b = (a : c) : (b : c) = (a × d) : (b × d)
dove a, b, c e d sono quattro numeri naturali qualsiasi con la condizione che b, c e d siano diversi da zero.
Esempio.
- 16 : 4 = 4;
- (16 : 2) : (4 : 2) = 8 : 2 = 4.
- (16 × 3) : (4 × 3) = 48 : 12 = 4.
2) Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione
Il risultato della divisione non cambia se, nel dividere una somma (o una differenza) per un numero, si divide ogni termine dell’addizione (o della sottrazione) per lo stesso numero e poi si addizionano (o sottraggono) i quozienti:
(a + b) : c = (a : c) + (b : c)
(a – b) : c = (a : c) – (b : c)
dove a, b e c sono tre numeri naturali, con la condizione che c sia diverso da zero.
Esempi.
- (20 + 10) : 5 = 30 : 5 = 6;
- (20 + 10) : 5 = (20 : 5) + (10 : 5) = 4 + 2 = 6;
- (20 – 10) : 5 = 10 : 5 = 2;
- (20 – 10) : 5 = (20 : 5) – (10 : 5) = 4 – 2 = 2;
ATTENZIONE: Se consideriamo solo numeri naturali, questa proprietà si può applicare solo nel caso di divisione propria (cioè quando il dividendo è un multiplo intero del divisore).
3) L’elemento neutro della divisione è 1
Qualsiasi numero diviso 1 restituisce il numero stesso:
a : 1 = a
dove a è un numero qualsiasi.
Esempi.
- 5 : 1 = 5
- 1 : 1 = 1
- 0 : 1 = 0
4) Non è possibile dividere un numero per zero.
a : 0 = impossibile
dove a è un numero qualsiasi.
Perché non è possibile dividere per zero ?
Da un punto di vista intuitivo, dividere per zero significa distribuire un certo numero di elementi e darli a nessuno. Se non c’è nessuno a cui distribuirli, è ovvio che l’operazione di divisione non può avvenire. Tale concetto può essere meglio compreso con un esempio, considerando che la divisione è l’inverso della moltiplicazione. Pertanto, se voglio calcolare 5 : 0 = ?, dovrei trovare un numero che moltiplicato per 0 mi restituisca 5, ma tale numero non esiste, perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 restituisce 0.
Come si calcola la divisione
Lo strumento che ti permette di calcolare la divisione più velocemente è sicuramente la calcolatrice, presente anche come applicazione su tutti gli smartphone :-). Se non disponi di una calcolatrice ed hai soltanto carta e penna? In questo caso ti può essere utile saper calcolare la divisione in colonna.
Procedura per eseguire la divisione in colonna.
- Il dividendo (a sinistra) è separato dal divisore (a destra) da una linea verticale, mentre sotto il divisore si traccia una linea orizzontale, sotto la quale verrà scritto il risultato della divisione.
- Si seleziona, a partire da sinistra, il minimo numero di cifre del dividendo che formano un numero più grande o uguale al divisore.
- Si cerca il più grande numero naturale che, moltiplicato per il divisore, restituisce un numero che sia minore o uguale al numero selezionato nel passo precedente. Il numero trovato si scrive sotto il divisore come prima cifra del risultato della divisione.
- Si moltiplica il numero trovato per il divisore. Il prodotto ottenuto viene sottratto al numero selezionato nel passo 2.
- Accanto al risultato della sottrazione si riporta la cifra successiva del dividendo e si ripetono i passi 3 e 4. Il tutto si ripete finché non terminano le cifre del dividendo.
Se la procedura non ti è chiara, ed hai bisogno di una descrizione più dettagliata, leggi il seguente articolo: come eseguire la divisione in colonna.