Criteri di divisibilità

In questa lezione ti spiegherò i principali criteri di divisibilità dei numeri naturali.

Tali criteri permettono di verificare se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione. Ti ricordo che si utilizza il termine“divisibile” quando una divisione dà come risultato un numero intero e resto zero.

Se hai bisogno di un criterio di divisibilità specifico ti basta cercarlo nel seguente indice.

INDICE

Criterio di divisibilità per 2

Un numero naturale è divisibile per 2 quando la cifra delle unità è pari, cioè assume uno dei seguenti valori: 0, 2, 4, 6, 8.

ESEMPI
364 – l’ultima cifra è 4 (pari);
78320 – l’ultima cifra è 0 (pari).

Criterio di divisibilità per 3

Un numero naturale è divisibile per 3 quando sommando le sue cifre si ottiene 3, 6 oppure 9.

Se la somma restituisce un numero maggiore di 9, bisogna continuare a sommare finché non si ottiene 9 o un numero minore di esso.

ESEMPI
321 – la somma delle cifre è:  3 + 2 + 1 = 6,
74235 – la somma delle cifre è: 7 + 4 + 2 + 3 + 5 = 21. Poiché 21 è maggiore di 9 dobbiamo continuare a sommare: 2 + 1 = 3.

Criterio di divisibilità per 4

Un numero naturale è divisibile per 4 se si verifica una delle seguenti condizioni:

  • le ultime due cifre sono 00
  • la penultima cifra è dispari e l’ultima è 2 oppure 6;
  • la penultima cifra è pari e l’ultima è 0, 4 oppure 8.

Ti ricordo che le cifre pari sono 0, 2, 4, 6, 8, mentre quelle dispari sono 1, 3, 5, 7, 9.

ESEMPI
7600 – termina con 00;
772 – la penultima cifra è dispari ( 7 ) e l’ultima è 2;
948 – la penultima cifra è pari (4) e l’ultima è 8.

Criterio di divisibilità per 5

Un numero naturale è divisibile per 5 quando soddisfa la seguente condizione:

  • l’ultima cifra è 0 oppure 5.

ESEMPI
3560 – termina con 0;
495 – termina con 5.

Criterio di divisibilità per 6

Un numero naturale è divisibile per 6 se sono soddisfatti contemporaneamente i criteri di divisibilità per 2 e per 3. Praticamente deve verificarsi che:

  • l’ultima cifra è pari (0, 2, 4, 6, 8) e la somma delle sue cifre è 3, 6 oppure 9. Se tale somma è un numero maggiore di 9, si continua a sommare finché non si ottiene un’ unica cifra.

ESEMPI
72 – l’ultima cifra è pari (2), e sommando le sue cifre si ottiene: 7 + 2 = 9.
648 – l’ultima cifra è pari (8), e sommando le sue cifre si ottiene: 6 + 4 + 8 = 18. Poiché 18 è maggiore di 9, si continua a sommare: 1 + 8 = 9.

Criterio di divisibilità per 7

Per verificare se un numero è divisibile per 7 si può utilizzare la seguente procedura:

  1. ottieni un nuovo numero togliendo la cifra delle unità;
  2. ottieni un nuovo numero moltiplicando per 5 la cifra delle unità;
  3. Somma i due numeri ottenuti.
  4. Se il risultato è un multiplo di 7 allora il numero è divisibile per 7.

Per poter completare il punto 4 è necessario che tu conosca a memoria qualche multiplo di 7. Se conosci la tabellina del 7 ricorderai sicuramente tutti i multipli fino a 70, che sono i seguenti:  7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

ESEMPI

Applico la procedura su 847:
1. togliendo la cifra delle unità (7), ottengo 84;
2. moltiplicando la cifra delle unità x 5 ottengo: 7 x 5 = 35;
3. sommando i due nuovi numeri, ottengo: 84 + 35 = 119
4. NON so se 119 è multiplo di 7, quindi ripeto la procedura su 119.

Applico la procedura su 119:
1. togliendo la cifra delle unità (9), ottengo 11;
2. moltiplicando la cifra delle unità x 5 ottengo: 9 x 5 = 45;
3. sommando i due nuovi numeri, ottengo: 11 + 45 = 56;
4. So che 56 è multiplo di 7, quindi sia 119 che 847 sono divisibili per 7

Criterio di divisibilità per 8

Un numero con più di due cifre è divisibile per 8 se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

  • termina con tre zero
  • si ottiene un multiplo di 8 facendo il seguente calcolo:

2 x [(2 x terz’ultima cifra) + penultima cifra] + ultima cifra 

ESEMPI
56000 – termina con tre zeri;
2952 – calcolo 2 x [(2 x 9) + 5] + 2 = 48, che è un multiplo di 8.

NOTA: se un numero ha soltanto due cifre bisogna ricordare a memoria i multipli di 8 (tabellina dell’otto): 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, che sono gli unici numeri a due cifre divisibili per 8.

Criterio di divisibilità per 9

Un numero naturale è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre dà come risultato 9 oppure un multiplo di 9. Nel caso in cui il risultato ottenuto è maggiore di 9 e non sai se è un suo multiplo, puoi continuare a sommare finché non ottieni un’unica cifra.

ESEMPI
3645 – sommo le cifre 3 + 6 + 4 + 5 = 18. Il numero 18 è un multiplo di 9, infatti sommando le sue cifre si ottiene: 1 + 8 = 9.
723681 – sommo le cifre 7 + 2 + 3 + 6 + 8 + 1 = 27. Il numero 27 è un multiplo di 9, infatti sommando le sue cifre si ottiene: 2 + 7 = 9.

Criterio di divisibilità per 10

Un numero naturale è divisibile per 10 se l’ultima cifra è zero.

ESEMPI
100 – l’ultima cifra è 0;
1000 – l’ultima cifra è 0.

Criterio di divisibilità per una potenza di 10

Un numero naturale è divisibile per 10n quando termina con un numero di zeri pari al valore dell’esponente n.

ESEMPI
3500 è divisibile per 102 perché termina con 2 zeri.
27000 è divisibile per 103 perché termina con 3 zeri.

Criterio di divisibilità per 11

Per capire se un numero naturale è divisibile per 11 bisogna seguire la seguente procedura:

  1. somma tutte le cifre di posto pari 
  2. somma tutte le cifre di posto dispari
  3. la differenza (in valore assoluto) tra la prima e la seconda somma deve essere 0, 11 oppure un multiplo di 11.

Ti ricordo che i multipli di 11 fino a 100 sono: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

ESEMPI

Applico la procedura su 3245:
1. sommo le cifre di posto pari: 3 + 4 = 7
2. sommo le cifre di posto dispari: 2 + 5 = 7
3. differenza (in valore assoluto) delle due somme: |7 – 7| = 0

Applico la procedura su 1903:
1. sommo le cifre di posto pari: 1 + 0 = 1
2. sommo le cifre di posto dispari: 9 + 3 = 12
3. differenza (in valore assoluto) delle due somme: |12 – 1| = 11

Criterio di divisibilità per 13

Per verificare se un numero naturale è divisibile per 13 bisogna seguire la seguente procedura:

  1. ottieni un nuovo numero togliendo la cifra delle unità;
  2. ottieni un nuovo numero moltiplicando per 4 la cifra delle unità;
  3. Somma i due numeri ottenuti.
  4. Se il risultato è 0, 13 oppure un suo multiplo, allora il numero è divisibile per 13.

Se al punto 4 non sei in grado di dire se si tratta di un multiplo di 13 oppure no, allora devi riapplicare la procedura dall’inizio sul risultato ottenuto. Alcuni multipli di 13 sono:  13, 26, 39, 52, 65, 78,91.

ESEMPI

Applico la procedura su 1131:
1. togliendo la cifra delle unità (1), ottengo 113;
2. moltiplicando la cifra delle unità x 4 ottengo: 1 x 4 = 4;
3. sommando i due nuovi numeri, ottengo: 113 + 4 = 117
4. NON so se 117 è multiplo di 13, quindi ripeto la procedura su 117.

Applico la procedura su 117:
1. togliendo la cifra delle unità (7), ottengo 11;
2. moltiplicando la cifra delle unità x 4 ottengo: 7 x 4 = 28;
3. sommando i due nuovi numeri, ottengo: 11 + 28 = 39
4. So che 39 è multiplo di 13, quindi sia 1131 che 117 sono divisibili per 13.

Criterio di divisibilità per 17

Per capire se un numero naturale con più di due cifre è divisibile per 17 bisogna seguire la seguente procedura:

  1. ottieni un nuovo numero togliendo la cifra delle unità;
  2. ottieni un nuovo numero moltiplicando per 5 la cifra delle unità;
  3. Calcola la differenza (in valore assoluto) tra i due numeri ottenuti.
  4. Se il risultato è 0, 17 oppure un suo multiplo, allora il numero è divisibile per 17.

Alcuni multipli di 17 sono: 17, 34, 51, 68, 85.

ESEMPI

Applico la procedura su 1496:
1. togliendo la cifra delle unità (6), ottengo 149;
2. moltiplicando la cifra delle unità x 5 ottengo: 6 x 5 = 30;
3. differenza (in valore assoluto) : |149 – 30| = 119
4. NON so se 119 è multiplo di 17, quindi ripeto la procedura su 119.

Applico la procedura su 119:
1. togliendo la cifra delle unità (9), ottengo 11;
2. moltiplicando la cifra delle unità x 5 ottengo: 9 x 5 = 45;
3. differenza (in valore assoluto) : |11 – 45| = 34
4. So che 34 è multiplo di 17, quindi sia 1496 che 119 sono divisibili per 17.

Criterio di divisibilità per 20

Un numero naturale con minimo due cifre è divisibile per 20 se le ultime due cifre sono: 00, 20, 40, 60, 80.

ESEMPI
140 – termina con 40;
280 – termina con 80.

Criterio di divisibilità per 23

Per capire se un numero naturale è divisibile per 23 bisogna seguire la seguente procedura:

  1. ottieni un nuovo numero togliendo la cifra delle unità;
  2. ottieni un nuovo numero moltiplicando per 7 la cifra delle unità;
  3. Somma i due numeri ottenuti.
  4. Se il risultato è 0, 23 oppure un suo multiplo, allora il numero è divisibile per 23.

Alcuni multipli di 23 sono: 23, 46, 69, 92.

ESEMPI

Applico la procedura su 943:
1. togliendo la cifra delle unità (3), ottengo 94;
2. moltiplicando la cifra delle unità x 7 ottengo: 3 x 7 = 21;
3. sommando i due nuovi numeri, ottengo: 94 + 21 = 115;
4. NON so se 115 è multiplo di 23, quindi ripeto la procedura su 115.

Applico la procedura su 115:
1. togliendo la cifra delle unità (5), ottengo 11;
2. moltiplicando la cifra delle unità x 7 ottengo: 5 x 7 = 35;
3. sommando i due nuovi numeri, ottengo: 11 + 35 = 46
4. So che 46 è multiplo di 23, quindi sia 943 che 115 sono divisibili per 23.

Criterio di divisibilità per 25

Un numero naturale con minimo due cifre è divisibile per 25 se le ultime due cifre (decine ed unità) sono: 00, 25, 50, 75.

ESEMPI:
500 – termina con 00;
1575 – termina con 75.

Criterio di divisibilità per 27

Per capire se un numero con più di 3 cifre è divisibile per 27 si può procedere nel seguente modo:

  1. raggruppa tre cifre alla volta partendo da destra
  2. Somma i numeri ottenuti raggruppando le cifre
  3. Se il risultato è un multiplo di 27 il numero di partenza è divisibile per 27

ESEMPIO

Applico la procedura su 130140:
1. raggruppando tre cifre alla volta ottengo: 130 e 140
2. Sommo i numeri ottenuti: 130 + 140 = 270
3. So che 270 è multiplo di 27, quindi 130140 è divisibile per 27.

Criterio di divisibilità per 37

Per capire se un numero con più di 3 cifre è divisibile per 37 si può procedere nel seguente modo:

  1. raggruppa tre cifre alla volta partendo da destra
  2. Somma i numeri ottenuti raggruppando le cifre
  3. Se il risultato è un multiplo di 37 il numero di partenza è divisibile per 37

ESEMPIO

Applico la procedura su 47323:
1. raggruppando tre cifre alla volta ottengo: 47 e 323
2. Sommo i numeri ottenuti: 47 + 323 = 370
3. So che 370 è multiplo di 37, quindi 47323 è divisibile per 37.

Criterio di divisibilità per 101

Per verificare se un numero naturale è divisibile per 101, bisogna seguire la seguente procedura:

  1. raggruppa le cifre del numero in coppie a partire da destra
  2. Somma i numeri ottenuti prendendo le coppie di posto dispari
  3. Somma i numeri ottenuti prendendo le coppie di posto pari
  4. Calcola la differenza (in valore assoluto) tra le due somme.
  5. Se il risultato è 0, 101 oppure un suo multiplo, allora il numero è divisibile per 101.

ESEMPIO

Applico la procedura su 1248865:
1. raggruppando le cifre in coppie (da destra) ottengo i seguenti numeri: 65, 88, 24, 1;
2. sommo le coppie di posto dispari: 24 + 65 = 89;
3. sommo le coppie di posto pari: 1 + 88 = 89;
4. differenza in valore assoluto delle due somme: |89 – 89| = 0;
5. il risultato è 0, quindi 1248865 è divisibile per 101.

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