In questa lezione ti farò vedere come calcolare il minimo comune multiplo (mcm) ed il Massimo Comune Divisore (MCD) tra monomi.
INDICE
Per poter comprendere l’argomento trattato in questa lezione bisogna sapere cos’è il mcm ed il MCD tra due o più numeri. Tale concetto viene qui esteso al caso di monomi.
mcm tra monomi
Il minimo comune multiplo tra più monomi è il monomio di grado più piccolo che è divisibile per tutti i monomi dati. Tale monomio si calcola nel seguente modo:
- la parte letterale è uguale al prodotto di tutte le lettere presenti nei monomi considerati, ognuna presa una sola volta con l’esponente più grande;
- il coefficiente è uguale al minimo comune multiplo dei coefficienti nel caso in cui i coefficienti siano tutti numeri interi, altrimenti è uguale ad 1.
Approfondimento: prima di fare qualche esempio, cerchiamo di capire un po’ meglio la definizione appena data. Ogni monomio preso singolarmente ha dei multipli, cioè altri monomi per cui esso è divisibile. Tali multipli sono così tanti, che è impossibile calcolarli tutti. Se però cominci a calcolare i multipli di ogni monomio, ad un certo punto ti renderai conto che alcuni multipli sono uguali tra loro, cioè i monomi che stai considerando hanno dei multipli comuni. A questo punto devi prendere, tra i multipli comuni, quello di grado minimo, detto anche minimo comune multiplo.
ESEMPIO 1: calcoliamo il mcm tra monomi con coefficienti tutti interi
Calcolo il coefficiente: il minimo comune multiplo di questi tre monomi sarà un monomio il cui coefficiente è il minimo comune multiplo dei coefficienti, cioè: mcm di (2, 3, 4) = 12;
Calcolo la parte letterale: si calcola prendendo tutte le lettere che vedi nei monomi, una sola volta con l’esponente più grande, cioè:
la lettera a è presente con esponenti 1 e 3: il più grande è 3;
la lettera b è presente con gli esponenti 2 e 1: il più grande è 2;
la lettera c è presente con gli esponenti 4 e 1: il più grande è 4.
La parte letterale sarà: a3b2c4.
Pertanto, il m.c.m di questi tre monomi è: 12 a3b2c4.
ESEMPIO 2: calcoliamo il mcm tra monomi con coefficienti non tutti interi
Calcolo il coefficiente: il minimo comune multiplo di questi tre monomi sarà un monomio il cui coefficiente è 1 perché i coefficienti non sono tutti interi.
Calcolo la parte letterale: si calcola prendendo ogni lettera una sola volta con l’esponente più grande, cioè:
la lettera a è presente solo con esponente 2: prendo 2;
la lettera b è presente con gli esponenti 3 e 1: il più grande è 3;
la lettera c è presente con gli esponenti 2 e 2: il più grande è 2.
La parte letterale sarà: a2b3c2.
Pertanto, il m.c.m di questi tre monomi è: a2b3c2
Ricordiamo che quando il coefficiente è 1 non si scrive.
MCD tra monomi
ll Massimo Comune Divisore tra più monomi è il divisore di grado più grande comune a tutti i monomi considerati. Tale monomio si calcola nel seguente modo:
- la parte letterale è uguale al prodotto delle lettere comuni (cioè quelle che sono presenti in ogni monomio considerato), prese una sola volta con il più piccolo esponente;
- il coefficiente è uguale al Massimo Comune Divisore dei coefficienti nel caso in cui i coefficienti siano tutti numeri interi, altrimenti è uguale ad 1.
Approfondimento: prima di fare qualche esempio, cerchiamo di capire un po’ meglio la definizione appena data. Ogni monomio preso singolarmente ha dei divisori, cioè altri monomi per i quali esso può essere diviso. Tali divisori possono essere più di uno. Se calcoli tutti i divisori di ogni monomio, potrebbe capitare che alcuni di essi sono uguali tra loro, cioè i monomi che stai considerando hanno dei divisori comuni. A questo punto devi prendere, tra tutti i divisori comuni ad ogni monomio, quello di grado più grande, detto anche Massimo Comune Divisore. Ricorda che il numero 1 è sempre un divisore comune a tutti i monomi, perché ogni monomio può essere diviso per 1, quindi nel caso in cui non ci fossero altri divisori comuni ai monomi considerati, il Massimo Comune Divisore è proprio 1.
ESEMPIO 1: calcoliamo il MCD tra monomi con coefficienti tutti interi
- Calcolo il coefficiente: il MCD di questi tre monomi sarà un monomio il cui coefficiente è il MCD dei coefficienti, cioè: MCD di (2, 6, 4) = 2;
- Calcolo la parte letterale: si calcola prendendo solo le lettere comuni a tutti e tre i monomi, una sola volta con l’esponente più piccolo, cioè:
la lettera a è presente in tutti e tre i monomi con esponenti 1, 3, 1: il più piccolo è 1;
la lettera b non è presente in tutti e tre i monomi: non va presa;
la lettera c non è presente in tutti e tre i monomi: non va presa.
La parte letterale sarà: a.
Pertanto, il MCD di questi tre monomi è: 2a.
ESEMPIO 2: calcoliamo il MCD tra monomi con coefficienti non tutti interi
Calcolo il coefficiente: il MCD di questi tre monomi sarà un monomio il cui coefficiente è 1 perché i coefficienti non sono tutti interi.
Calcolo la parte letterale: si calcola prendendo solo le lettere presenti in tutti e tre i monomi, una sola volta con l’esponente più piccolo, cioè:
la lettera a non è presente in tutti e tre i monomi: non va presa;
la lettera b è presente in tutti e tre i monomi con esponenti 3, 3, 1: il più piccolo è 1;
la lettera c è presente in tutti e tre i monomi con esponenti 4, 2 , 2: il più piccolo è 2.
La parte letterale sarà: bc2.
Pertanto, il MCD di questi tre monomi è: bc2.
Ricordiamo che quando il coefficiente è 1 non si scrive.
Se vuoi esercitarti su questi argomenti, clicca su esercizi mcm e mcd tra monomi