In questa lezione introdurremo i monomi, uno degli argomenti base dell’algebra, la cui comprensione è indispensabile per poter apprendere gli argomenti successivi.
INDICE
- Definizione di monomio
- Monomio ridotto a forma normale
- Grado di un monomio
- Monomi simili
- Esempi sui monomi
- Differenza monomio intero e frazionario
Definizione di monomio
Un monomio (dal greco monos che significa: unico, solo) è un’espressione matematica costituita dal prodotto di più termini, che possono essere sia numeri che lettere. Le lettere devono avere per esponente un numero naturale.
La parte numerica compreso il segno (+, -) è chiamata coefficiente, mentre la parte restante è detta parte letterale.
Sono due le cose da ricordare:
- coefficiente può essere qualsiasi numero;
- parte letterale è consentita solo l’operazione di moltiplicazione.
NOTA: a3 = a · a · a è un prodotto, quindi soddisfa la condizione 2. In generale qualsiasi potenza il cui esponente è un numero naturale è una moltiplicazione di un numero per se stesso, e quindi soddisfa la condizione 2.
Monomio ridotto a forma normale (o canonica)
Un monomio si dice ridotto in forma normale quando: il coefficiente è un unico numero e la parte letterale è il prodotto di potenze con basi letterali diverse.
Come ridurre in forma normale un monomio?
Se un monomio non è ridotto in forma normale si può ridurlo. Ti faccio un esempio per farti capire come procedere.
ESEMPIO: ridurre in forma normale il seguente monomio
-3 · 2 · a a2(-b) c3 c2
il monomio nell’esempio non è ridotto in forma normale perché il coefficiente è costituito dal prodotto di due numeri (3, 2) e nella parte letterale ci sono due potenze con la stessa base (la lettera a è presente due volte, lo stesso vale anche per la lettera c). Per ridurlo in forma normale dobbiamo moltiplicare sia la parte numerica che le potenze letterali con la stessa base.
Utilizziamo la seguente procedura:
1. calcolo il segno:
il segno è + perché ci sono due segni negativi. In generale il segno è negativo (-) se il numero di segni negativi è dispari, è positivo (+) se il numero di segni negativi è pari o nullo.
2. moltiplico la parte numerica:
- 3 · 2 = 6
3. moltiplico le potenze aventi la stessa base:
- a a2 = a3;
- c3 c2 = c5;
4. ottengo il seguente risultato:
Grado di un monomio
Quando si ha un monomio ridotto in forma normale si può calcolare il grado di tale monomio. Nel valutare il grado bisogna precisare se si tratta del grado complessivo o del grado rispetto ad una lettera.
Grado rispetto ad una lettera
Il grado rispetto ad una lettera è semplicemente l’esponente della lettera considerata.
Grado complessivo di un monomio
Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le lettere del monomio
CASI PARTICOLARI:
1. un monomio costituito solo dal coefficiente (quindi un semplice numero) ha grado 0;
2. un monomio con coefficiente uguale a 0 non ha nessun grado ed il monomio si dice nullo.
Monomi simili
Due o più monomi, ridotti a forma normale, si dicono simili se hanno la stessa parte letterale.
Tra i monomi simili possiamo ulteriormente distinguere due casi particolari: i monomi uguali e i monomi opposti
Monomi uguali
I monomi uguali hanno la stessa parte letterale e lo stesso coefficiente.
Monomi opposti
I monomi opposti hanno la stessa parte letterale e coefficienti opposti, cioè coefficienti con lo stesso valore assoluto ma segno opposto (uno + e l’altro -).
Esempi sui monomi
Per comprendere meglio il concetto di monomio facciamo alcuni esempi opportunamente commentati:
1. monomio non ridotto a forma normale (il coefficiente non è un unico numero):
2. monomio non ridotto a forma normale (nella parte letterale le basi non sono tutte diverse, la lettera b è presente due volte):
3. monomio ridotto a forma normale (quando il coefficiente è positivo il segno + non si scrive):
4. monomio con coefficiente razionale, (1/5 è un numero razionale):
5. monomio con coefficiente numerico -1 (in questo caso 1 non si scrive e si lascia solo il segno -):
6. monomio di grado 0 (è un semplice numero perché nella parte letterale le lettere hanno tutte esponente 0, quindi il loro prodotto è uguale ad 1).
Falsi monomi
Vediamo adesso alcuni esempi di espressioni matematiche che sembrano monomi ma che in realtà NON sono monomi perché non soddisfano la definizione data all’inizio di questa lezione:
c’è una lettera con esponente negativo (- 1 non è un numero naturale), quindi non è un monomio.
c’è una divisione nella parte letterale che corrisponde ad una potenza con esponente negativo (-2), quindi non è un monomio.
c’è una potenza con esponente razionale nella parte letterale (1/2 è un numero razionale, non appartiene ai numeri naturali), quindi non è un monomio.
Possiamo concludere dicendo che ogni volta che in un prodotto tra numeri e lettere troviamo un esponente di una lettera che non è un numero naturale, allora non si tratta di un monomio.
Differenza monomio intero e monomio frazionario
Prima di proseguire con la lezione successiva è utile fare una precisazione sulla definizione di monomio data all inizio di questa lezione. Quando si parla di monomio si intende solitamente un monomio intero, cioè un monomio in cui nella parte letterale ci sono solo lettere con esponente intero positivo (ricorda che se trovi una lettera al denominatore con esponente negativo questo è ancora un monomio intero perché portandola al numeratore l’esponente diventa positivo):
Si può estendere la definizione di monomio al caso in cui alcune lettere si trovano al denominatore con esponente intero positivo, oppure si trovano al numeratore con esponente intero negativo, in tal caso bisogna precisare che si tratta di monomio frazionario
Ricorda che se tale precisazione non viene fatta, quando si parla di monomio si sottintende monomio intero ed il monomio frazionario non è considerato un monomio, perché non soddisfa la definizione.
Se vuoi esercitarti su questi argomenti, clicca su esercizi sui monomi.